記作：\$\det(A)\$、\$\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\$
用途：
判斷是否可逆 (Invertible)、非奇異 (Nonsingular)，若不為 0 代表可逆、非奇異
尋找特徵值 (Eigenvalue)
範例
\$A = \begin{bmatrix}
3 & 4\\
1 & 2
\end{bmatrix}\$，則 \$A\$ 的行列式 \$\det(A) = \begin{vmatrix}
3 & 4\\
1 & 2
\end{vmatrix}\$
計算
存在許多公式以 2x2 行列式公式為例
\$\begin{vmatrix}
3 & 4\\
1 & 2
\end{vmatrix} = 3\times 2 - 4 \times 1 = 2\$
更高階的採用拉普拉斯展開 (cofactor expansion)
cofactor 定義：
\$A\$ 的第 i 列第 j 行元素 \$a_{ij}\$ 的 cofactor \$A_{ij} = (-1)^{i+j} \det(M_{ij})\$
其中 \${\color{Blue}{M_{ij}}}\$ 為 \$A\$ 矩陣去掉第 i 列第 j 行後的矩陣，稱作 minor of \${\color{Red}{a_{ij}}}\$
e.g.
\$A = \begin{bmatrix}
2 & {\color{Red}5} & 4\\
{\color{Blue}3} & 1 & {\color{Blue}2} \\
{\color{Blue}5} & 4 & {\color{Blue}6}
\end{bmatrix}\$
則 \$A_{12} = (-1)^3 \det(M_{12}) = (-1)\begin{vmatrix}
{\color{Blue}3} & {\color{Blue}2} \\
{\color{Blue}5} & {\color{Blue}6}
\end{vmatrix} = -(18 - 10) = -8\$
而行列式值可以透過 cofactor 運算
\$\begin{split}
\det(A) &= a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} \\
& = a_{11}(-1)^{2} \det(M_{11}) + a_{12}(-1)^{3} \det(M_{12}) + a_{13}(-1)^{4} \det(M_{13})
\end{split}\$
以上面例子來說
\$\begin{split}
\det(A) & = 2 \begin{vmatrix}
1 & 2\\
4 & 6
\end{vmatrix}
- 5 \begin{vmatrix}
3 & 2\\
5 & 6
\end{vmatrix}
+ 4 \begin{vmatrix}
3 & 1\\
5 & 4
\end{vmatrix} \\
& = 2(6 - 8) - 5(18 - 10) + 4(12 - 5) = -16
\end{split}\$
這個範例是使用第1列運算
其實使用哪一行哪一列都可以
所以一般化的定義：
\$\det(A) = \begin{cases}
a_{11} & \text{ if } n = 1 \\
a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + a_{i3}A_{i3} + \cdots + a_{in}A_{in} & \text{ if } n > 1 (由第 i 列展開) \\
a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + a_{3j}A_{3j} + \cdots + a_{nj}A_{nj} & \text{ if } n > 1 (由第 j 行展開)
\end{cases} \\
where A_{ij} = (-1)^{i+j} \det(M_{ij}) \\
\forall 1 \leq i, j \leq n\$
定理
給定 nxn 矩陣，則(1) 若有任一行或任一列元素全為 0，則行列式值為 0
(2) 若有任兩列或行相同，則行列式值為 0
Q: 列或行運算後行列式值不變?
A: 從二階來看 \$\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} = ad - bc\$
列運算後假設得到 \$\begin{vmatrix}
a + 2c & b + 2d \\
c & d
\end{vmatrix} = (a + 2c) d - (b + 2d) c = ad + 2cd - db -2dc = ad - bc\$
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