107.08.15 線性代數 determinant

行列式 (Determinant) 是數學中的一個函數，將一個 nxn 的矩陣 A 映射到一個純量
記作：$\det(A)$、$\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}$
用途：
判斷是否可逆 (Invertible)、非奇異 (Nonsingular)，若不為 0 代表可逆、非奇異
尋找特徵值 (Eigenvalue)

範例
$A = \begin{bmatrix} 3 & 4\\ 1 & 2 \end{bmatrix}$，則 $A$ 的行列式 $\det(A) = \begin{vmatrix} 3 & 4\\ 1 & 2 \end{vmatrix}$

計算

存在許多公式
以 2x2 行列式公式為例
$\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3\times 2 - 4 \times 1 = 2$

更高階的採用拉普拉斯展開 (cofactor expansion)
cofactor 定義：
$A$ 的第 i 列第 j 行元素 $a_{ij}$ 的 cofactor $A_{ij} = (-1)^{i+j} \det(M_{ij})$
其中 ${\color{Blue}{M_{ij}}}$ 為 $A$ 矩陣去掉第 i 列第 j 行後的矩陣，稱作 minor of ${\color{Red}{a_{ij}}}$
e.g.
$A = \begin{bmatrix} 2 & {\color{Red}5} & 4\\ {\color{Blue}3} & 1 & {\color{Blue}2} \\ {\color{Blue}5} & 4 & {\color{Blue}6} \end{bmatrix}$
則 $A_{12} = (-1)^3 \det(M_{12}) = (-1)\begin{vmatrix} {\color{Blue}3} & {\color{Blue}2} \\ {\color{Blue}5} & {\color{Blue}6} \end{vmatrix} = -(18 - 10) = -8$

而行列式值可以透過 cofactor 運算
$\begin{split} \det(A) &= a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} \\ & = a_{11}(-1)^{2} \det(M_{11}) + a_{12}(-1)^{3} \det(M_{12}) + a_{13}(-1)^{4} \det(M_{13}) \end{split}$

以上面例子來說
$\begin{split} \det(A) & = 2 \begin{vmatrix} 1 & 2\\ 4 & 6 \end{vmatrix}  - 5 \begin{vmatrix} 3 & 2\\ 5 & 6 \end{vmatrix}  + 4 \begin{vmatrix} 3 & 1\\ 5 & 4 \end{vmatrix} \\ & = 2(6 - 8) - 5(18 - 10) + 4(12 - 5) = -16 \end{split}$

這個範例是使用第1列運算
其實使用哪一行哪一列都可以
所以一般化的定義：
$\det(A) = \begin{cases} a_{11} & \text{ if } n = 1 \\ a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + a_{i3}A_{i3} + \cdots +  a_{in}A_{in} & \text{ if } n > 1 (由第 i 列展開) \\ a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + a_{3j}A_{3j} + \cdots +  a_{nj}A_{nj} & \text{ if } n > 1 (由第 j 行展開) \end{cases} \\ where A_{ij} = (-1)^{i+j} \det(M_{ij}) \\ \forall 1 \leq i, j \leq n$

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定理

給定 nxn 矩陣，則
(1) 若有任一行或任一列元素全為 0，則行列式值為 0
(2) 若有任兩列或行相同，則行列式值為 0

Q: 列或行運算後行列式值不變?
A: 從二階來看 $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
列運算後假設得到 $\begin{vmatrix} a + 2c & b + 2d \\ c & d \end{vmatrix} = (a + 2c) d - (b + 2d) c = ad + 2cd - db -2dc  = ad - bc$

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定理：$A$ 為 nxn 矩陣，則 $\det(A^T) = \det(A)$

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定理：若 $A$ 為 nxn 矩陣，且上三角或下三角全為 0，則行列式值為對角線乘積